Infinitos primos

Por supuesto el primer teorema de este sitio es el de la infinitud de los primos :) o sea:

El conjunto de los números primos (que solamente se dividen entre 1 y si mismos) es infinito

La demostración clásica es la de reducción al absurdo, es decir: suponer que el resultado no es cierto para llegar a una contradicción.

Supongamos entonces que hay solo m primos, podríamos entonces enlistarlos todos: p_1, p_2,... p_m y hacer el siguiente número: p_1 p_2... p_m+1, o sea 1 mas la multiplicación de todos ellos.
Como este numero es compuesto (no es un primo por que es mayor a todos ellos), es divisible entre algún primo, digamos p_k pero tambien lo es el producto de todos los primos (el anterior a el), entonces tenemos que p_k divide a 1, que es la diferencia entre estos 2 (he aqui la contradicción)

6 comentarios en “Infinitos primos

  1. Un resultado similar y muy conocido es el de que hay infinitos primos de la forma 4k+3
    Por principio hay que notar que todos los primos, excepto el 2 tienen un resido 1 o 3. y al multiplicar 2 números con residuo 1 resulta siempre otro con residuo 1.
    Si un número deja residuo 3 al dividirlo entre 4 entonces tiene un factor de la forma 4k+3, ya que al multiplicar números que no tienen este residuo, resulta un producto con residuo distinto a 3.
    Si solo fueran un conjunto finito de primos de esa forma, podríamos tomar el siguiente número: 4 p_1p_2...p_k+3, como no es par, sus factores primos tienen residuo 1 o 3 al dividirlos en 4. Pero si solo tuviera factores con residuo 1, entonces el resultado quedaría con residuo 1.
    Entonces tiene al menos un factor con residuo 3, digamos p_i. De forma similar al argumento de la infinitud de los primos, p_i divide a 4 p_1p_2...p_k+3, entonces tambien divide a 3 (contradicción)

  2. Hay otra demostración de la infinitud del conjunto de los primos atribuida a Perre de Fermat:
    Fermat definió los números F_i = 2^{2^i}+1 pensando en que todos eran primos, ahora se les conoce como números de Fermat. Se puede demostrar que son primos relativos entre ellos, pero primero hay que demostrar el siguiente:
    Lema
    F_n - 2= F_1F_2F_3...F_{n-1}
    el cual no es muy difícil de probar por inducción. (lo sugiero como ejercicio)
    entonces calculemos el MCD de el n y m con n > m:
    \displaystyle \left(F_n, F_m \right) = \left(F_1F_2...F_m...F_{n-1}+2, F_m \right) = \left(2, F_m \right) = 1
    Como todos son primos relativos entre sí y son una cantidad infinita de ellos, pues debe haber una cantidad infinita de primos (al menos uno distinto por cada número de Fermat)
    :)

  3. Otra demostración!!!
    esta es un poquito mas difícil.
    Cualquier entero se puede escribir como producto de sus divisores primos a alguna potencia. Usaremos este hecho.
    Si hubiera una cantidad finita de primos, al escribir la siguiente suma:
    \displaystyle \sum_{i= 1}^{\infty} \frac{1}{i}
    cada termino podría factorizarse con una colección finita de inversos de primos, es decir \frac{1}{p_i}
    podríamos entonces tomar el primer primo y factorizar a todos los que tienen a su inverso como factor y separar a los demás:
    \displaystyle \sum_{i= 1}^{\infty} \frac{1}{i} = \left(\sum_{(p,i)=1} \frac{1}{i}\right)(1+\frac{1}{p}+\frac{1}{p^2}+...)
    pero hay que recordar que la suma de las potencias de un número menor que 1 es:
    \displaystyle 1+\frac{1}{p}+\frac{1}{p^2}+... = \frac{p}{p-1}
    y de nuevo hacerlo con los demás primos… y como cada entero se descompone en solo una cantidad finita de primos tendríamos:
    \displaystyle \sum_{i= 1}^{\infty} \frac{1}{i} = \left( \frac{p_1}{p_1-1}\right)\left( \frac{p_2}{p_2-1}\right)...\left( \frac{p_n}{p_n-1}\right)
    lo cual es una cantidad finita (producto de un número finito de números).

    Pero podemos demostrar también fácilmente que la suma original es infinita: en la suma
    \displaystyle \sum_{i= 1}^{\infty} \frac{1}{i}
    los términos 3 y 4 son ambos mayores iguales que \frac{1}{4}, y en total su suma es mayor que 1/4+1/4=1/2. Los terminos del 5 al 8 son todos mayores o iguales a \frac{1}{8} y como son 4, su suma es mayor que 4/8 = 1/2
    así, del termino \frac{1}{2^n+1} hasta el \frac{1}{2^{n+1}}
    son mayores o iguales que el último, y en total su suma es mayor que 1/2.
    Como hay infinitas potencias de 2, y por cada una de ellas la suma hasta esa potencia aumenta 1/2 a la suma total… entonces la suma total no es finita.
    pero si hay una cantidad finita de primos esa suma tiene que ser finita!,
    Conclusión: hay una cantidad infinita de primos

  4. Hola Álvaro,

    El resultado mencionado en tu primer comentario se puede obtener también como caso particular del teorema de Dirichlet sobre primos en progresiones aritméticas.

    — Si (a,b)=1 entonces la sucesión \{a+bk\}_{k \in \mathbb{N}} contiene infinitos números primos.

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