Álvaro

Raices irracionales

Sean a y b dos enteros positivos tales que sus raices cuadradas no son racionales. ¿En qué casos \sqrt{a}-\sqrt{b} es racional?

8 comentarios

  1. Si esa resta es un número racional podíamos llegar a la siguiente igualdad:

    \displaystyle a = \frac{p^2}{q^2} + \frac{2p}{q}\sqrt{b} +b

    de donde se sigue (dividiendo entre p/q solo si es distinto a cero):

    \displaystyle \sqrt{b} = (a - b - \frac{p^2}{q^2})\frac{q}{2p}

    lo cual contradice la hipótesis de que \sqrt{b} es irracional.
    por lo tanto la resta original es racional solo cuando es cero

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    • el truco usual con sumas de raices es multiplicar por la conjugada, o sea:
      \sqrt{p}+\sqrt{q} = \frac{(\sqrt{p}+\sqrt{q} )(\sqrt{p}-\sqrt{q} )}{\sqrt{p}-\sqrt{q} }
      $=latex \frac{p-q}{\sqrt{p}-\sqrt{q} }$
      como estamos suponiendo que p y q son distintos, entonces \sqrt{p}-\sqrt{q} es irracional (es lo demostrado arriba en el primer comentario)

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