Cifras Impares

Demuestra que para todo natural n, existe un numero de n cifras, todas impares tal que es divisible por 5^n

4 comentarios en “Cifras Impares

  1. Una mala demostracion, pero demostracion al fin y al cabo.

    Probaremos por induccion lo pedido en el problema.
    Hacemos induccion en n
    Base de induccion: tenemos que 5 divide a 5, es decir 5^1divide a 5 aqui n=1 (es decir el exponente de 5 es 1 y el numero 5 es de un digito y es divisible entre 5^1 como se quiere).
    Hipotesis de induccion: para todo i con i desde 1 hasta n-1 se tiene un natural de i digitos divisible por 5^i.
    Paso inductivo: demostraremos que se cumple tambien para n.
    observamos que un numero de n digitos se puede escribir como c(10^(n-1))+b, donde c es un digito y b es el numero que se obtiene al quitarle el primer digito (de izquierda a derecha) al numero de n digitos.
    Veamos que d(5^(n-1)) modulo 5^n solo tiene 5 posibilidades entre ellas el 0 (mod5^n) esto es claro pues los residuos que puede dejar al ir variando d son 0,5^(n-1),(2)5^(n-1),(3)5^(n-1),(4)5^(n-1) y apartir de aqui se repetiran los residuos.
    Sea x el entero de n-1 digitos todos impares divisible entre 5^(n-1) si le aumentamos un 1 al principio de este numero para obtener un numero de n digitos sabemos que seguira siendo divisible entre 5^(n-1) por lo visto anteriormente, ahora cambiando el 1 agredado por un 3 vemos que el numero obtenido tambien sera divisible entre 5^(n-1) y de igual forma si cambiamos el 3 por un 5, el 5 por un 7 y el 7 por un 9, al hacer esto habremos obtenido cinco numeros distintos divisibles ente 5^(n-1) con todos sus digitos impares, ningun par de estos numeros pueden ser congruentes entre si (mod 5^n) pues estos numeros difieren en: (2)10^(n-1), (4)10^(n-1), (6)10^(n-1) y (8)10^(n-1) y si algun par de los numeros obtenidos de n digitos todos impares divisibles entre 5^(n-1) fueran congruentes entre si (mod 5^n) la diferencia entre ellos deberia ser congruente a 0 (mod 5^n) y vemos que ninguna de ellas lo es, por lo tanto entre los cinco numeros de n digitos, todos impares, divisibles entre 5^(n-1) estan las cinco posibilidades de congruencias para un numero multiplo de 5(n-1) (mod 5^n) en particular el 0 y este numero tiene todas sus cifras impares y n digitos como queriamos.

  2. deseo que me lo resuelvan este problema de matematica y es:
    hallar la suma de las cifras de un numero de dos cifras, sabiendo que su C.A es igual al producto de sus dos cifras?

  3. hola, necesitaria q me puedar ayudar a mostrar que los primos de la forma 4n+3 no pueden escribirse como suma de dos cuadrados, un adelanto seria de gran utilidad… gracias

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