suma de potencias de 2

Hay que calcular S^{\frac{3}{256}} Donde S = (2+1) (2^2+1) (2^4+1) ... (2^{256}+1)(2^{512}+1) +1

4 comentarios en “suma de potencias de 2

  1. este es un problema clásico de encontrar el patrón, o sea con los primeros números: 3 \cdot 5 = 15 = 16-1 = 2^4-1
    3\cdot 5\cdot 17 = 255 = 256 -1 =2^8-1
    3\cdot 5\cdot 17\cdot 255 = 2^16-1

    entonces es razonable pensar que se podría demostrar por inducción que en general…
    (2+1)(2^2+1)(2^4+1)... (2^{2^{n-1}}+1)(2^{2^n}+1) = 2^{2^{n+1}}-1

    Primero es fácil verificar la base para n = 1, y ahora si es cierto para n, multiplicando ambos lados de la igualdad anterior por 2^{2^{n+1}}+1 queda:
    (2+1)(2^2+1)(2^4)... (2^{2^{n-1}}+1)(2^{2^n}+1)(2^{2^{n+1}}+1) = (2^{2^{n+1}}-1)(2^{2^{n+1}}+1) = 2^{2(2^{n+1})}-1 = 2^{2^{n+2}}+1
    lo cual confirma el paso inductivo

  2. Reduce a una sola potencia: (resuelvanlo)

    5 elevado a 3 + 2 elevado a 3 = ¿?
    (5 + 2)elevado a 3 = ¿?
    (2+3) elevado a 2 = ¿?
    2 al cuadrado + 3 al cuadrado = ¿?
    Y una pregunta…
    ¿existen las restas para reducir a una sola potencia?
    ejemplo:
    4 elevado a 5 – 3 elevado a 5 = ¿?
    ¿Eso existe?
    ¿Cómo sería?

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