Dos segmentos iguales

En la siguiente figura tenemos un triángulo agudo ABC y los dos círculos con diámetro sus lados AB y BC. Sean los puntos E y F donde cortan dichos círculos a el otro respectivo lado. Se construyen las rectas AE y CF y los puntos P y Q donde ellas cortan a los círculos.

Demostrar que los segmentos BQ y BP son iguales

el dibujo

pueden descargar el archivo para geogebra aquí.

9 comentarios en “Dos segmentos iguales

  1. Creo que este problema tiene varias soluciones, pero la que me salio a mi dice asi:

    ( la notacion :(x)^2 quiere decir x al cuadrado)

    Como el angulo CFB subtiende el diametro CB en C2 tenemos que el angulo CFB es igual al angulo CFA y ambos son iguales a 90 grados.
    Por otro lado el angulo AEB subtiende el diametro AB en C1 y por lo tanto el angulo AEB es igual al angulo AEC y ambos son iguales a 90 grados.
    De lo anterior tenemos que el angulo AFC es igual al angulo AEC lo que implica que el cuadrilatero AFEC es ciclico. Tomando la potencia desde B con respecto al circulo que circuscribe al cuadrilatero AFEC tenemos que (BE)(BC)=(BF)(BA).

    Como el triangulo CBP es rectangulo y PE es la altura hacia la hipotenusa tenemos que (BE)/(BP)=(BP)/(BC) y de aqui tenemos que (BP)^2=(BE)(BC).

    Como el triangulo AQB es rectangulo y QF es la altura trazada hacia la hipotenisa tenemos que (BF)/(BQ)=(BQ)/(BA) y de aqui tenemos que (BQ)^2=(BF)(BA).

    Finalmente como (BF)(BA)=(BQ)^2=(BE)(BC)=(BP)^2 tenemos que (BQ)^2=(BP)^2 y por lo tanto BQ=BP.

  2. no pues esto si esta bien raro jejejeje
    pero kien hizo esa figura la neta k el
    k la aga echo si se rayo bien machin
    pues yo nadamas le dejo mi firmita
    para k no se les aguite el tamal jejejej

    AtTe!lUiSa

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