La mediana en la hipotenusa

Una de las propiedades básicas mas útiles de los triángulos rectángulos aparece cuando tomamos en un triángulo rectángulo la mediana por la hipotenusa.

Sea ABC un triángulo rectangulo en C, y M el punto medio de AB.
recto con mediana

Es fácil demostrar que las bases de las alturas desde M a AC y BC son los puntos medios de estos segmentos. Entonces M está en las mediatrices de AC y BC. Se puede concluir de ahi fácilmente que los triángulos AMC y BMC son isóceles. Tambien que M es el centro de la circunferencia que pasa por los puntos A, B y C. Y además que el ángulo BMC es el doble del ángulo BAC (por que la suma de los ángulos interiores de AMC es lo mismo que del ángulo AMC y CMB).

Usando la definición de sen y cos podemos calcular entonces sen del doble de un ángulo de la siguiente manera:

. \displaystyle sen(\alpha) = \frac{BC}{AB} = \frac{HC}{AC} pero \displaystyle AC = AB cos (\alpha) .

entonces \displaystyle MC sen (2 \alpha) = HC = AB sen (\alpha) cos (\alpha) .

y de ahí se concluye que:

. \displaystyle sen (2 \alpha) = 2 sen (\alpha) cos (\alpha) .

4 comentarios en “La mediana en la hipotenusa

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