Una formula con los números de Fibonacci

Los números de fibonacci son la serie que cumple:

f_0 = 0 \quad f_1 = 1\quad f_{n+1} = f_n + f_{n-1}

y tienen muchas propiedades combinatorias que presentaré en algun otro post.

Por ahora les quiero contar de una formula que me presentó Juan José un amigo
que siempre tiene algo interesante que contar :)

\phi^n = f_n\phi + f_{n-1}

donde \phi es una de las raices de la eccuación x^2-x-1 = 0 (las propiedades de \phi tambien son otro tema bastante extenso)

y se demuestra fácilmente, en este punto debería detenerse el lector para escribir la demostración como comentario. Una vez que demuestras dicha fórmula ya tomaste valor y puedes seguir con lo que viene… que aunque es difícil es muy interesante y satisfactorio.

Lo primero que se necesita hacer es jugar con dicha fórmula…
entonces para seguir leyendo es necesario primero hacer una pausa y escribir en un papel la fórmula e intentar cualquier sustitución que uno pueda imaginar y no detenerse sino hasta obtener alguna otra ecuación interesante. Para eso uno debe inventar preguntas, intentar responderlas y aplicar la solucion en otras preguntas.

Bien. Una vez ya familiarizado con esa fórmula puede uno contestar las siguientes preguntas…

¿Cuánto valen las siguientes expresiones?

\displaystyle f_n^2-f_{n-1}^2-f_nf_{n-1}

\displaystyle f_{n+1} +f_{n}+ f_{n-1} +f_{n-2}

\displaystyle \sum_{i = 1}^n f_i

\displaystyle \sum_{i = 0}^n {n \choose i}f_i

\displaystyle \sum_{i=1}^n f_if_{n-i}

antes de contestar aqui está un ejemplo de cómo se juega con esa fórmula…

Podemos sustituir a\phi por cada una de sus raices y sumar en la fórmula, entonces nos queda…
\phi_1^n = f_n\phi_2 + f_{n-1}
y
\phi_2^n = f_n\phi_2 + f_{n-1},
restando ambas y despejando f_n nos queda:

\displaystyle f_n = \frac{\phi_1^n-\phi_2^n}{\phi_1-\phi_2} = \frac{\phi_1^n-\phi_2^n}{\sqrt{5}}
que es la fórmula clasica de los números de fibonacci

Bien, ahora tienen tarea… pueden contestar cualquiera de las preguntas de este post como comentario :)

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