Álvaro

División de polinomios

Para los que sepan suficiente álgebra puede ser interesante el problema que está al final del post.

Los polinomios se dividen muy fácil, casi como los números enteros. Solamente que en polinomios los cocientes y residuos también son polinomios: por ejemplo \frac{x^n+1}{x} = x^{n-1}+\frac{1}{x} se divide exactamente como si dividieramos \frac{10^n+1}{10} = 10^{n-1}+\frac{1}{10}, solo que en vez de tomar la base 10, usamos la base x. Otro ejemplo complicado…
\frac{x^4-2x^2+1}{x} = x^3-2x+\frac{1}{x}

Si en vez de dividir entre x dividimos entre otro polinomio P(x) podemos separar en sumandos fáciles de dividir entre P(x), por ejemplo, en el siguiente caso P(x) = x+1:
\frac{x^4-x^2+x+1}{x+1} = \frac{x^4-2x^2+1}{x+1}+ \frac{x^2+x}{x+1}
= \frac{(x-1)^2(x+1)^2}{x+1}+x = (x-1)^2(x+1)+x

y en el caso de que no se pueda expresar el polinomio a dividir Q(x) en forma de multiplos de P(x) siempre podemos encontrar un múltiplo de P(x) cercano a Q(x) de la siguiente forma:

Q(x) = A(x)P(x)+B(x)
en este caso B(x) es el residuo.

Ejemplo: \frac{x^3}{x-1} = \frac{x^3-1}{x-1}+\frac{1}{x-1}
= x^2+x+1 + \frac{1}{x-1}

Una propiedad importante y fácil del residuo es que su grado es estrictamente menor que P(x), el lector puede verificarlo fácilmente (y escribirlo)

Bueno… despues de tanta teoría (jijijiji) el problema es muy bonito:
¿Cuál es el residuo al dividir x^n entre x^2-x-1?

12 comentarios

  1. gracias mw ayudo a comprender lo todo y para los demas ponganse a estudiar el internet es una herramienta para investigacion no es algo que por arte de magia te trnsporta las respuestas del examen k ya es hora de que se porgan a estudiar araganes

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  6. En primer lugar, podemos expresar la division:

    D(x) = C(x).d(x) + r(x)

    (d(x)= x^2 – x – 1)

    Para:
    n=0 r(x)=1
    n=1 r(x)=x
    n=2 r(x)=x+1
    n=3 r(x)=2x+1
    n=4 r(x)=3x+2
    n=5 r(x)=5x+3
    n=6 r(x)=8x+5

    (Para los q no se dieron cuenta les pego)

    ahora vamos a usar induccion,

    mi hipotesis inductiva va a ser que para algun n>=3 su residuo estara compuesto en el grado 1 y por el grado 0 por la suma de los dos anteriores en sus respecivos grados,

    D(x^?) = C(x^?).d(x) + r(x^?)
    x^n = C(x^n).d(x) + r(x^(n-1)) + r(x^(n-2))

    multipticamos por x:

    x^(n+1) = C(x^n).d(x) + x.r(x^(n-1)) + x.r(x^(n-2))

    pese q:
    k.r(k^(m))=r(k^(m+1))

    enonces:

    x^(n+1) = C(x^(n+1)).d(x) + r(x^(n)) + r(x^(n^(-1))

    lo q completa nuestra bellisima induccion,

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