Fórmula para los números primos

Me encontré por casualidad en mathlinks.ro un problema increíble pero muy bonito: se los dejo de tarea por esta semana que me voy de vacaciones :)

Demostrar que
\displaystyle f(n) = (2n - 1)(1 + \lfloor\frac {(2n)! + 1}{2n + 1}\rfloor + \lfloor - \frac {(2n)! + 1}{2n + 1} \rfloor) + 2

siempre es un número primo y que aparecen todos los primos en esa secuencia, o sea para cualquier primo p existe un n que hace que f(n) = p

La notación \lfloor x \rfloor significa: el mayor entero menor a x.
Antes de seguir leyendo sugiero intentarlo mucho, no es difícil.

la solución es sorprendentemente simple y solo utiliza un hecho ingenioso:
si x es entero entonces \lfloor x \rfloor + \lfloor - x \rfloor = 0 en caso contrario es igual a 1.
Suerte!

p.d. la solución está aquí, pero en inglés.

5 comentarios en “Fórmula para los números primos

  1. Bueno no se como poner el simbolo de la parte entera pero la demostracion del hint es facil. cuando X es entero la parte entera de X es igual a X, pues se define la parte entera como el mayor entero menor o igual a X, y por lo tanto la aprte entera de -X =-X(si X es entero) y entonces la parte entera de X mas la parte de entera de -X es cero ya que es igual a X-X=0. Ahora por la definicion de la parte entera si (c/b) es positivo y no es entero digamos que su parte entera es Z, es decir Z es le mayor entero menor que (c/b) pero entonces el mayor entero menor que -(c/b) sera iugal a (-Z-1) y por lo tanto cuando (c/b) no es entero, la suma de su aprte entera mas la aprte entera de -(c/b) sera igual a -1pues es igual a Z-Z-1=-1.

    Entonces el parentesis de f(n) que contiene las partes enteras solo pueude ser iugal a (1+0) o (1+(-1)) pues este parentesis es de la forma (1 + (la parte entera de (c/b) +(la parte entera de -(c/b)) ) y como vimos antes la sumas de las partes enteras solo puede ser igual a 0 cuando b divide a c, o a (-1) cuando b no divide a c pero cuando este parentesis es iugal a (-1) f(n)=(2n-1)(1+(-1))+2=2 y en este caso f(n) es primo.
    Ahora vemos que cuando 2n+1 divide a (2n)!+1 tambien f(n) es primo y ademas genera, con la n correcta cualquier primo impar. entonces si 2n+1 divide a (2n)!+1 tenemos que (2n)! es congruente a (-1) (mod 2n+1) pero por el teorema de wilson sabemos que esto pasa si y solo si 2n+1 es primo y entonces f(n)=(2n-1)(1+0)+2=2n+1 que como ya vimos es un numero primo y escogiendo la n correcta podemos obtener cualquier primo impar.

  2. Bueno creo que mi solucion no es muy clara asi que tratare de ponerlo claro, para esto usare los simbolos “| X|” para denotar la parte entera de X y dare por hecho que |X|+|-X|=0 cuando X es entero y |X|+|-X|=-1 cuando X no es entero (pero la demostracion de esto se deja como ejercicio al lector).

    f(n)=(2n-1)(1+|( (2n)!+1 )/(2n+1)| + |- ( (2n)!+1 )/(2n+1)| )+2, tenemos dos casos cuando ( (2n)!+1 )/(2n+1) es entero y cuando no lo es. Cuando es entero quiere decir que 2n+1 divide a (2n)!+1 es decir (2n)!es congruente a (-1) (mod 2n+1) pero por el teorema de wilson sabemos que esto pasa si y solo si 2n+1 es primo pero ademas si ( (2n)!+1 )/(2n+1) es entero sabemos que |( (2n)!+1 )/(2n+1)| + |- ( (2n)!+1 )/(2n+1)|=0 y entonces tendremos f(n)=(2n-1)(1+0)+2=2n-1+2=2n+1 que como ya sabiamos es primo es decir si y solo si 2n+1 es primo f(n)=2n+1.
    El otro caso es que ( (2n)!+1 )/(2n+1) no sea entero y entonces sabremos que |( (2n)!+1 )/(2n+1)| + |- ( (2n)!+1 )/(2n+1)|=(-1)
    y entonces f(n)=(2n-1)(1+(-1)+2=(2n-1)(0)+2=2.
    En conclusion cuando 2n+1 es primo f(n)=2n+1 y cuando 2n+1 no es primo f(n)=2, es decir en cualquier caso genera siemrpe un primo y si pasara por todos los primos.

  3. Soy de los padres de familia que piensan que las matematicas y las materias afines son bonitas cuando el profesir sabe explicarlas de manera sencilla. No tengo sino 5 hijos pero mi hijo de 12 años me pregunto para que le sirve aprender los numeros primos . Me podrian ayudar? y me podrian recomendar alguna pagina o libro donde se maneje ejercicios sencillos y claros?
    Gracias

    Omar rocha
    Bogota Colombia

incluye tu respuesta

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s