Una desigualdad geométrica

Hay una desigualdad muy bonita con 2 números positivos (se llama desigualdad de media geométrica-media aritmética) y fácil de demostrar:

\displaystyle \sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}

Le sugiero al lector escribir como comentario una demostración usando solo álgebra, pero aquí veremos un par de demostraciones muy intuitivas usando solo hechos geométricos

Construimos primero un semicírculo de diámetro a+b y trazamos una perpendicular justo donde se dividen a y b

Es fácil ver en la figura anterior que los triángulos ABC, AHC y CHB son rectángulos y semejantes, pues comparten ángulos.

Entonces tenemos las siguientes igualdades entre las razones de sus lados:
\frac{a}{h} =\frac{h}{b} \quad ab = h^2

y como vemos, el punto mas alto del circulo es justo enmedio, que es el radio, o sea \frac{a+b}{2}, de donde concluimos que \frac{a+b}{2} \geq h = \sqrt{ab}

Ahora podemos ver una mas sencilla aún… jejeje :D
Como estamos hablando de números positivos, podemos pensarlos como áreas:

Claramente el rectángulo área ab está contenido en la figura, de ahí concluimos que:

\frac{a^2+b^2}{2} \geq ab.
que es equivalente a lo que queríamos demostrar.

Otra demostración sin palabras es la que sigue:



4 comentarios en “Una desigualdad geométrica

  1. Usando el último dibujo y un pequeño lema se puede demostrar muy fácilmente la desigualdad del reacomodo, que dice: si 0< a_1 < a_2< ...< a_n y b_1, b_2, ... b_n son números positivos, el producto a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3+...+a_nb_n es máximo si b_1 < b_2 < ... < b_n

    El lema necesario es uno extremadamente fácil y bonito: cualquier suma de i elementos del conjunto \{ a_1, a_2, ... a_n\} es mayor o igual a a_1+a_2+...+a_i

  2. usando vectores esto queda muy sencillo
    considerando los vectores u ̅=(√(a_1 ),√(a_2 )) v ̅=(√(a_2 ),√(a_1 ))
    y usando la desigualdad de cauchy-schwarz sale directo

incluye tu respuesta

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s