Teorema generalizado de la bisectriz

Es muy fácil demostrar el siguiente teorema:
En un triángulo ABC con un punto D sobre BC y los ángulos marcados como se indican en la figura, se tiene
\displaystyle \frac{b}{c} = \frac{CD}{DB} \frac{\sin(\alpha_2)}{\sin(\alpha_1)}

hay varias demostraciones, una usa la ley de senos, pero aqui presento una mas simple:


Los puntos F y G son los pies de las perpendiculares de B y C a la linea AD.
Claramente el triángulo BDG es semejante al CDF, de ahí que \frac{BD}{CD} = \frac{BG}{CF} pero BG = c \sin (\alpha_2) y CF = b \sin (\alpha_1)
sustituyendo resulta la igualdad que buscábamos.

Pero ahora podemos buscar aplicarlo en algún ejemplo:

Forma trigonométrica del teorema de Ceva
En un triángulo ABC, las rectas que parten de los vértices y que forman los ángulos: \alpha_1, \alpha_2, \beta_1, \beta_2, \gamma_1, \gamma_2 con los lados recorriendolos en el sentido de las manecillas del reloj, concurren si y solo si \displaystyle \frac{\sin(\alpha_1)}{\sin(\alpha_2)} \frac{\sin(\beta_1)}{\sin(\beta_2)} \frac{\sin(\gamma_1)}{\sin(\gamma_2)} = 1

Un corolario (resultado inmediato) de esto es que para cada punto X en el triangulo, al reflejar con las vicectrices las lineas que unen a X con los vértices correspondientes, estas líneas concurren.

14 comentarios en “Teorema generalizado de la bisectriz

  1. acerca de ejemplos aqui propongo uno sencillo.
    En un triángulo ABC, A= 12° y B= 36° . Calcule la razón de las longitudes
    de las bisectrices externas de los ángulos A y B.
    =angulo.

  2. acerca de ejemplos aqui propongo uno sencillo.
    En un triángulo ABC, A= 12° y B= 36° . Calcule la razón de las longitudes
    de las bisectrices externas de los ángulos A y B.
    A y B=angulos.

  3. ¡¡¡ Excelente trabajo !!!
    Recomiendo colocar ejemplos súper sencillos. Digamos : Aplicando el teorema de Ceva, demuestre que las tres medianas se interceptan en un punto.
    Los problemas pueden ser: básicos, intermedios y avanzados. Por lo demás los felicito.

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