Mas problemas de practica (mas dificiles)

1
Determinar todas las parejas (a, b) de enteros positivos de dos digitos cada uno tales que 100a+b y 201a + b son cuadrados perfectos de 4 dígitos

2
Sea ABC un triángulo acutángulo, con N, P, Q los pies de las alturas sobre BC, CA y AB respectivamente. Sean R y S las proyecciones de N sobre los lados AB y AC resp. Sean T y U las proyecciones de N sobre BP y CQ resp.
a) Demostrar que R, S; T y U son colineales
b) Demostrar que PQ = RS – UT

3
Un polígono tiene 2008 vértices de forma que no hay 3 de ellos alineados ni 3 de sus segmentos concurren. Determinar el máximo número de cruces que pueden hacerse entre sus lados.

4
Se colorean las casillas de un tablero de 1001×1001 con las siguientes reglas:
·) en 2 casillas adyacentes al menos una debe colorearse
··) de 6 casillas consecutivas en fila o columna se deben colorear al menos 2 adyacentes
Calcular el mínimo de casillas que deben colorearse

5
Demuestra que hay una cantidad infinita de pares de números racionales positivos (x, y) tales que \sqrt{x^3+y^2} y \sqrt{x^2+y^3} son ambos racionales

6
En un conjunto S de puntos en el plano se dice que un punto P es de corte si existen 4 puntos distintos en S tales que el segmento que une a 2 de ellos corta en P a el segmento que une a los otros 2.

Dado un conjunto finito A_0 de puntos en el plano se consigue la siguiente sucesión de conjuntos A_1, A_2, A_3 ... de la siguiente manera: en cualquier paso A_j, el siguiente conjunto A_{j+1} es la union de A_j con todos sus puntos de corte.

Demostrar que si union de todos los conjuntos en la sucesión es un conjunto finito entonces todos son el mismo.

8 comentarios en “Mas problemas de practica (mas dificiles)

  1. En el problema 2, esta mal la redaccion, S deberia ser la proyeccion de N sobre AC. Aqui va mi solucion :P.

    En la figura notamos varios cuadriláteros cíclicos, y una que otra semejanza, las cuales uso.

    Como ACQ y ABN son semejantes, entonces <BCQ = <NAB
    Como CNUS es cíclico, entonces <NCU = <NSU.
    Por lo tanto <NSU = <NAR
    Pero NSAR es cíclico, entonces <NAR = <NSR. Así <NSR = <NSU, por lo que S, U, R son colineales. De igual forma demostramos que R,T,S son colineales, y al final S,U,T,R son colineales.

    Para la segunda parte uso triángulos pedales. (si x es la distancia del punto P al angulo A de un triangulo ABC, entonces el lado del triángulo pedal relativo al lado BC mide: BC * x / 2R, donde R es el circunradio).

    Asi que en el triangulo ABC: PQ = BC * AH / 2R
    En el triangulo ABC: RS = BC * AN / 2R
    En el triangulo BCT: UT = BC * HN / 2R, esto de que el circuncirculo es el mismo que en ABC

    Entonces RS – UT = BC * AN / 2R – BC * HN / 2R
    = (AN – HN) * BC / 2R
    = AH * BC / 2R
    = PQ

  2. Esta es mi solucion al problema 3

    La demostracion de que S,U,T y R son solineales es igual a la solucion anterior.

    Sea H el ortocentro (el punto de interseccion de BP con CQ) tenemos quepor ser QBNH cilcico <ABC=<AHQ=<CHN=<x y se sabe que <y=<HCN=90-<x por ser el triagulo CHN rectangulo, como el cuadrilatero CNUS es cilcico tenemos <USN=<UCN=<y, entonces <ASR=180-(90+y)=x pero como el cuadrilatero PQBC es ciclico <APQ=<ABC=x y entonces PQ paralelo a SR por lo que triangulo PQH es semejante al triangulo TUH , pero los triagulos SRN y PQH son de lados paralelos y por lo tanto semejantes, es decir lso triagulos PQH,TUS y SRN son semejantes por lo que PH/PQ=TH/TU=SN/SR=(PH+HT)/(PQ+UT)=PT/(PQ+UT), pero NT paralelo a AC por ser perpendiculares a BP y SN paralelo a TP por ser perpendiculares a AC por lo que SNTP es un paralelogramo por lo que SN=PT y entonces de la igualdad SN/SR=PT/(PQ+UT) concluimos que SR=PQ+UT como se queria demsotrar.

  3. Problema 1:
    100*a + b=n
    201*a + b=x x y n son cuadrados perfectos

    si resto las ecuaciones tengo:
    101*a =n-x, pero la resta de dos cuadrados perfetos es un numero impar, entonces 101*a debe ser impar………… pero hasta
    ahi llego………. no podrian publicar una forma de llegar a la respuesta?

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