Problemas diversos de casillas

En el entrenamiento resolvimos varios problemas cuya solución involucra división en casillas:

  1. ¿Por qué las siguientes fracciones siempre dan un número entero?
    \displaystyle \frac{n(n-1)}{2}, \frac{n(n-1)(n-2)}{6}, \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}, \dots , \frac{n(n-1)...(n-i+1)}{i!}
  2. ¿En un cuadrado de lado 3 se pueden colocar 3 discos de radio 1 totalmente separados?
  3. En un grupo de 13 niños siempre hay 2 que cumplen años el mismo mes.
  4. En una fiesta, hay varios que se saludan y otros que no. Demostrar que siempre hay 2 que saludaron la misma cantidad de veces.
  5. Se dan 3 puntos en el plano que definen un triángulo y 3 puntos dentro de dicho triángulo. Demostrar que entre los 6 puntos siempre hay un triángulo cuya área es menor que 1/7.

Claramente como dice el hint, hay que dividir en varias partes. Por ejemplo en el problema 1, cada producto involucra i números consecutivos en el numerador y los primeros i números en el denominador. Lo que queda es justificar que el producto del numerador es divisible entre el factorial que está dividiendo. Las casillas entre las que hay que repartir son los múltiplos de 2, de 3, de 4, etc…

Para el problema 2 el hint es un poco mas sutil. Si dividieramos el cuadrado en 3 áreas iguales, ¿cuánto de esa área le tocaría a cada circulo?

El hint para el 4 es separar a todos con la cantidad de saludos que hicieron. Pero es necesario una consideración; no es posíble simultaneamente que una persona salude a todos y que otra no salude a nadie.

El último problema es un poco mas difícil. El chiste de separar es que todas las partes sean completamente excluyentes y que la union cubra todo. En este caso tales condiciones se logran separando en triángulos distintos de forma que cada triángulo tenga sus vértices en los puntos que plantea el problema. Lo único que queda por demostrar es que la cantidad de partes en que se dividieron los triángulos son al menos 7.

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