Problemas diversos de casillas

En el entrenamiento resolvimos varios problemas cuya solución involucra división en casillas:

  1. ¿Por qué las siguientes fracciones siempre dan un número entero?
    \displaystyle \frac{n(n-1)}{2}, \frac{n(n-1)(n-2)}{6}, \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}, \dots , \frac{n(n-1)...(n-i+1)}{i!}
  2. ¿En un cuadrado de lado 3 se pueden colocar 3 discos de radio 1 totalmente separados?
  3. En un grupo de 13 niños siempre hay 2 que cumplen años el mismo mes.
  4. En una fiesta, hay varios que se saludan y otros que no. Demostrar que siempre hay 2 que saludaron la misma cantidad de veces.
  5. Se dan 3 puntos en el plano que definen un triángulo y 3 puntos dentro de dicho triángulo. Demostrar que entre los 6 puntos siempre hay un triángulo cuya área es menor que 1/7.

Sigue leyendo

Juegos, adivinanzas y rompecabezas

Hay una cantidad de sitios en inglés con una clase muy especial de problemas que en ese idioma llaman puzzles. Aunque no se puede traducir exáctamente, esa clase de acertijos pueden ser rompecabezas, adivinanzas, juegos o actividades divertidas en general que implican reflexión, conteo y hasta cálculos complejos, pero sobre todo creatividad y “pensamiento lateral” o fuera del esquema.

Lamentablemente no puedo traducir todos, aunque vale la pena visitarlos. Muchos de ellos realmente no requieren explicación escrita:

http://puzzles.com/

http://www.theguardian.com/science/alexs-adventures-in-numberland/2014/oct/21/martin-gardner-mathematical-puzzles-birthday

http://www.math.utah.edu/~cherk/puzzles.html

https://www.khanacademy.org/math/recreational-math/puzzles

http://www.mathsphere.co.uk/resources/MathSphereMathsPuzzles.htm

http://www.mathsisfun.com/puzzles/logic-puzzles-index.html

http://www.cut-the-knot.org/games.shtml

http://artofproblemsolving.com/community/c47_games

Tal vez algunos de tantos sea presentado en español en este blog de vez en cuando.

De nuevo el principio de Dirichlet

Ahora veamos algunos ejercicios del principio de casillas que no parecen tal como dice su enuciado:

1- Para todo número entero, existe un múltiplo de el cuyos dígitos son solo sietes o ceros.

2- Con n>4, de entre los números del uno al 2n, se eligen n de ellos. Demostrar que hay uno que es múltiplo de otro dentro de los seleccionados

3- Con 3 enteros: a, b y c, el siguiente producto siempre es par:
(a-b)(a-c)(b-c)

 

Hay muchas formas de pensar el principio de casillas –o principio de Dirichlet–, entre las mas divertidas están las geométricas:

4. Dentro de un triángulo equilátero de lado 1

a) hay 5 puntos. Demostrar que dos de ellos distan menos de 1/2.

b) con 7 puntos, hay 3 de ellos que forman un triángulo de area menor a 1/4

5. Dados cualesquiera 5 puntos en el plano, que no formen 3 colineales. Demostrar que hay 4 de ellos en configuración convexa.

Revivir el Blog con un problema sencillo

Nuevo diseño, nuevo concepto y nueva vida!

Despues de años de estar abandonado, el blog de problemate vuelve a la vida con nuevo diseño y nuevo concepto pues ya no será exclusivo para las olimpiadas de matemáticas y los problemas ya no serán iguales ;)

Todos los posts anteriores se quedan para recordar pero ya no se tratará solo de ayuda a los alumnos, de hecho no se prestará ayuda en absoluto mas que cuando el tiempo me lo permita o si algun lector comenta contestando a otro, jejeje.

En fin, como autor extrañé sobremanera esta actividad pero la vida sigue y no soy de muchas palabras así que aquí está el primer problema, sacado de la pág de un software que podría interesarles a los usuarios de sistemas UNIX (eukleides)

un cuadrado con triángulos equilateros en 2 lados contiguos (uno interior y otro exterior) demostrar que los 3 vértices que no estan en dos figuras, son colineales

Como se puede ver, son 2 equiláteros, uno hacia dentro y el otro hacia afuera, y quedan 3 puntos que no estan en 2 figuras al menos: uno es una esquina del cuadrado y los otros los vértices solos de los triángulos. El reto es demostrar que los 3 puntos descritos caen sobre una misma línea recta.

suerte!